Меню

Точечные источники света система линз



Точечные источники света система линз

Направление движения энергии световой волны определяется вектором Пойнтинга (система единиц СГС Гаусса), здесь — скорость света в вакууме, и — векторные напряженности электрического и магнитного полей. Длина вектора Пойнтинга равна плотности потока энергии, то есть количеству энергии, которое в единицу времени протекает через единичную площадку перпендикулярную вектору . В изотропной среде направление движения поверхности фиксированной фазы совпадает с направлением движения энергии световой волны. В кристалле эти направления могут не совпадать. Далее будем рассматривать изотропную среду.

Световые лучи.

Линии векторного поля , вдоль которых распространяется свет, называются лучами. Если поверхности равных фаз представляют собой параллельные плоскости, то волна называется плоской. Плоской волне соответствует параллельный пучок лучей, так как лучи в изотропной среде перпендикулярны поверхностям равных фаз. Сферической волной называется волна с поверхностями равных фаз сферической формы. Ей соответствует пучок лучей, выходящих из одной точки или собирающихся в одну точку. В этих двух случаях говорят соответственно о расходящейся и о сходящейся сферической волне.

Приближение геометрической оптики.

Если длина световой волны очень мала по сравнению со всеми размерами оптических приборов, то явлениями дифракции и интерференции можно пренебречь. Такое рассмотрение распространения света называется приближением геометрической оптики.

Геометрическая оптика обычно ограничивается рассмотрением распространения света в однородных средах и предметах, состоящих из однородных сред. Распространение света в среде с плавно изменяющимся показателем преломления описывается уравнением эйконала.

Отражение и преломление света.

Если световая волна распространяется в однородной среде без препятствий, то волна распространяется по прямым линиям — лучам. На границе раздела двух однородных сред лучи отражаются и преломляются (рис.1). Отраженный (3) и преломленный (2) лучи находятся в одной плоскости с падающим лучом (1) и перпендикуляром к границе раздела двух сред ( ). Угол падения равен углу отражения . Угол преломления можно найти из равенства

где и — показатели преломления первой и второй среды.

Отражение от плоского зеркала.

Плоское зеркало, как и сферическое, отражает лучи света в соответствии с законом отражения (угол падения равен углу отражения). Свет после отражения от плоского зеркала во всех смыслах распространяется так, как если бы вместо зеркала стояло окошко, а источник света располагался бы за поверхностью зеркала, за окошком. Интересно, что изображение в зеркале находится не просто в другом месте, оно вывернуто «наизнанку», при этом «правое» и «левое» меняются местами. Например, правая спираль становится левой спиралью.

Преломление света, также как и отражение, можно рассматривать, как «кажущееся» изменение положения источника света. Этот факт проявляется в кажущемся изломе прямой палки, наполовину опущенной в воду под углом к поверхности воды. Мнимое положение источника света в данном случае будет различаться для лучей, падающих на границу раздела двух сред под различными углами. По этой причине обычно избегают говорить о мнимом положении источника света при преломлении.

Призма.

В задачах с призмами поворот света призмой можно рассматривать как два последовательных преломления света на плоских гранях призмы при входе света в призму и при его выходе.

Особый интерес представляет частный случай призмы с малым углом при вершине ( на рис. 2). Такую призму называют тонкой призмой. Обычно рассматриваются задачи, в которых свет падает на тонкую призму почти перпендикулярно ее поверхности. При этом за два преломления лучи света поворачивают на малый угол в плоскости перпендикулярной ребру призмы в сторону утолщения призмы (рис. 2). Угол поворота не зависит от угла падения света в приближении малых углов падения. Это означает, что призма поворачивает «кажущееся» положение источника света на угол в плоскости перпендикулярной ребру призмы.

Из двух таких тонких призм состоит, в частности, бипризма Френеля (рис. 3), проходя через которую свет от точечного источника распространяется далее так, как если бы свет излучался двумя точечными когерентными источниками.

Оптическая ось.

Оптической осью называется прямая линия, проходящая через центры кривизны отражающих и преломляющих поверхностей. Если система имеет оптическую ось, то это центрированная оптическая система [2].

Линза.

Обычно прохождение света через линзу рассматривается в приближении параксиальной оптики, это означает, что направление распространения света всегда составляет малый угол с оптической осью, и лучи пересекают любую поверхность на малом расстоянии от оптической оси.

Линза может быть собирающей или рассеивающей.

Лучи, параллельные оптической оси, после собирающей линзы проходят через одну и ту же точку. Эта точка называется фокусом линзы. Расстояние от линзы до ее фокуса называется фокусным расстоянием. Плоскость, перпендикулярная оптической оси и проходящая через фокус линзы, называется фокальной плоскостью. Параллельный пучок лучей, наклоненный к оптической оси, собирается за линзой в одну точку ( на рис. 4) в фокальной плоскости линзы.

Рассеивающая линза преобразует параллельный оптической оси пучок лучей в расходящийся пучок (рис. 5). Если расходящиеся лучи продолжить назад, то они пересекутся в одной точке — фокусе рассеивающей линзы. При небольшом повороте пучка параллельных лучей точка пересечения перемещается по фокальной плоскости рассеивающей линзы.

Построение изображений.

В задачах на построение изображений подразумевается, что протяженный источник света состоит из некогерентных точечных источников. В этом случае изображение протяженного источника света состоит из изображений каждой точки источника, полученных независимо друг от друга.

Изображение точечного источника — это точка пересечения всех лучей после прохождения через систему, лучей испущенных точечным источником света. Точечный источник испускает сферическую световую волну. В приближении параксиальной оптики сферическая волна, проходя через линзу (рис. 6), распространяется и далее в виде сферической волны, но с другим значением радиуса кривизны. Лучи за линзой либо сходятся в одну точку (рис. 6а), которую называют действительным изображением источника (точка ), либо расходятся (рис. 6б). В последнем случае продолжения лучей назад пересекаются в некоторой точке , которая называется мнимым изображением источника света.

Читайте также:  Фотоэффект зависит интенсивность света

В параксиальном приближении все лучи, исходящие из одной точки до линзы, после линзы пересекаются в одной точке, поэтому для построения изображения точечного источника достаточно найти точку пересечения «удобных нам» двух лучей, эта точка и будет изображением.

Если перпендикулярно оптической оси поставить лист бумаги (экран) так, чтобы изображение точечного источника попало на экран, то в случае действительного изображения на экране будет видна светящаяся точка, а в случае мнимого изображения — нет.

Построение изображения в тонкой линзе.

Есть три луча, удобных для построения изображения точечного источника света в тонкой линзе.

Первый луч проходит через центр линзы. После линзы он не изменяет своего направления (рис. 7) как для собирающей так и для рассеивающей линзы. Это справедливо только в том случае, если среда с обеих сторон линзы имеет одинаковый показатель преломления. Два других удобных луча рассмотрим на примере собирающей линзы. Один из них проходит через передний фокус (рис. 8а), или его продолжение назад проходит через передний фокус (рис. 8б). После линзы такой луч пойдет параллельно оптической оси. Другой луч проходит до линзы параллельно оптической оси, а после линзы через задний фокус (рис. 8в).

Удобные для построения изображения лучи в случае рассеивающей линзы показаны на рис. 9а,9б.

Точка пересечения, мнимого или действительного, любой пары из этих трех лучей, прошедших линзу, совпадает с изображением источника.

В задачах по оптике иногда возникает потребность найти ход луча не для одного из удобных нам трех лучей, а для произвольного луча (1 на рис. 10), направление которого до линзы определено условиями задачи.

В таком случае полезно рассмотреть, например, параллельный ему луч (2 на рис. 10б), проходящий через центр линзы, независимо от того есть или нет такой луч на самом деле.

Параллельные лучи собираются за линзой в фокальной плоскости. Эту точку ( на рис. 10б) можно найти как точку пересечения фокальной плоскости и вспомогательного луча 2, проходящего линзу без изменения направления. Вторая точка, необходимая и достаточная для построения хода луча 1 после линзы, это точка на тонкой линзе ( на рис. 10б), в которую упирается луч 1 с той стороны, где его направление известно.

Построение изображения в толстой линзе.

Тонкая линза — линза, толщина которой много меньше ее фокусного расстояния. Если линзу нельзя считать тонкой, то каждую из двух сферических поверхностей линзы можно рассматривать как отдельную тонкую линзу.

Тогда изображение в толстой линзе можно найти как изображение изображения. Первая сферическая поверхность толстой линзы дает изображение источника как изображение в тонкой линзе. Вторая сферическая поверхность дает изображение этого изображения.

Другой подход при построении изображений состоит в том, что вводится понятие главных плоскостей центрированной оптической системы, частным случаем которой может быть толстая линза. Центрированная оптическая система, которая может состоять и из большого числа линз, полностью характеризуется двумя фокальными и двумя главными плоскостями. Полностью характеризуется в том смысле, что знание положения этих четырех плоскостей достаточно для построения изображений. Все четыре плоскости перпендикулярны оптической оси, следовательно свойства оптической системы полностью определяются четырьмя точками пересечения четырех плоскостей с оптической осью. Эти точки называются кардинальными точками системы.

Для тонкой линзы обе главные плоскости совпадают с положением самой линзы. Для более сложных оптических систем существуют формулы расчета положения кардинальных точек через радиусы кривизны поверхностей линз и показатели их преломления [2].

Для построения изображения точечного источника достаточно рассмотреть прохождение через оптическую систему двух удобных нам лучей и найти точку их пересечения после линзы, либо точку пересечения продолжений лучей назад (для мнимого изображения).

Построение хода лучей проводится так, как будто между главными плоскостями системы находится тонкая линза, а пространство между главными плоскостями отсутствует. Пример построения приведен на рис. 11. и — главные плоскости системы.

Задача прохождения света через центрированную оптическую систему может быть решена не только геометрическим построением хода лучей, но и аналитически. Для аналитического решения задач удобен матричный метод [2].

Формулы тонкой линзы.

Если в задаче требуется аналитический результат, а не построение изображения, то для решения обычно достаточно трех формул:

Здесь — оптическая сила линзы, — фокусное расстояние, — расстояние от линзы до источника света, — расстояние от линзы до изображения, и — радиусы кривизны обоих поверхностей линзы, — показатель преломления материала линзы.

В этих формулах все величины с размерностью длины могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Фокусное расстояние положительно для собирающей линзы, положительно для действительного изображения, и положительны для двояковыпуклой линзы. Расстояние от линзы до источника — положительная величина, но и тут можно представить себе мнимый точечный источник, для которого это расстояние будет отрицательным.

Реже встречаются задачи, в которых показатели преломления среды с двух сторон от линзы различаются. Тогда потребуются следующие формулы:

Может быть полезна и формула для оптической силы одной сферической поверхности, в частности при рассмотрении толстой линзы как двух сферических поверхностей:

Читайте также:  Гардины для второго света

Сферическое зеркало.

Чтобы удовлетворить приближению параксиальной оптики, нужно потребовать, чтобы сферическое зеркало было малой частью сферы. Другими словами, размер зеркала должен быть много меньше радиуса кривизны сферы.

Сферическое зеркало отражает световые лучи аналогично оптической системе, состоящей из тонкой линзы и вплотную поставленного плоского зеркала. Вогнутое зеркало аналогично собирающей линзе, выпуклое — рассеивающей.

Модуль фокусного расстояния сферического зеркала равен половине радиуса кривизны сферы

Фокус расположен посередине между зеркалом и центром сферы.

На рис. 12а,б приведены примеры построения изображений точечного источника света в сферическом зеркале.

Источник

Линзы и системы линз

Явление преломления света на сферической поверхности раздела двух оптических сред позволяет получать изображения светящихся предметов. Эта возможность осуществляется с помощью линзы — прозрачного тела, ограниченного двумя сферическими поверхностями. Линза является основным оптическим элементом в таких приборах, как фотоаппарат, проекционный фонарь, микроскоп, телескоп и т. д.

На рисунке 1 показан разрез преломляющей сферической поверхности, разделяющей две оптические среды с различными показателями преломления. Очевидно, качественное изображение любого предмета возможно только в том случае, когда пучок лучей, исходящих из любой точки предмета (например, из точки \(P\)), после преломления соберется снова в точку. Вообще говоря, сферическая граница раздела двух сред не обеспечивает этого условия. Так, луч \(NB\) после преломления пересечет ось \(PQ\), строго говоря, в другой точке, нежели луч \(MA\). Однако при некоторых условиях пучок лучей, испущенных точкой, может собраться практически в точку. Это будет в том случае, когда высота \(h\), на которой все лучи этого пучка пересекают преломляющую поверхность, мала по сравнению с радиусом кривизны \(OC\) преломляющей поверхности. Другими словами, когда мал угол \(\alpha\). Лучи, удовлетворяющие этому условию, называются параксиальными. Для удаленных источников требование малости угла \(\alpha\) эквивалентно требованию малости угла \(u\). Но малость угла \(u\) не является достаточным условием параксиальности. Действительно, луч, параллельный оси \(PQ\) (\(u = 0\)), но достаточно удаленный от нее (\(h\) велико), не будет параксиальным.

Таким образом, в зависимости от того, сколь хорошо выполняется условие параксиальности, в окрестности точки \(P\) будет более или менее большой кружок размытия. Однако на практике нет необходимости делать его меньше некоторой, вполне определенной, величины. Например, если кружок размытия станет меньше элемента сетчатки глаза (зерна фотоэмульсии на фотопленке, неровностей матового стекла и т. п.), он будет восприниматься нами как точка. Его дальнейшее уменьшение в нашем зрительном ощущении ничего не изменит.

Всюду в дальнейшем мы будем иметь дело только с параксиальными лучами (можно, в принципе, придумать такие преломляющие поверхности, для которых условие параксиальности лучей не является обязательным. Однако наиболее просты в изготовлении именно сферические поверхности). Кроме того, ограничимся рассмотрением только тонких линз, то есть таких линз, фокусные расстояния которых существенно больше их толщины.

Если тонкая линза изготовлена из материала с показателем преломления \(n\), слева от линзы находится среда показателем преломления \(n_1\), а справа — с показателем преломления \(n_2\), то имеют место соотношения:

Здесь \(F_1\) и \(F_2\) — переднее и заднее фокусные расстояния линзы, \(R_1\) и \(R_2\) — радиусы кривизны, соответственно, передней и задней поверхностей линзы. Эти соотношения можно получить (проделайте это самостоятельно!), рассматривая ход лучей, идущих от бесконечно удаленного источника, находящегося в первом случае слева от линзы, а втором случае — справа. В частности, когда с обеих сторон от линзы находится воздух (\(n_1 = n_2 = 1\)),

Принято считать, что если поверхность своей выпуклой стороной обращена к среде с меньшим показателем преломления, то ее радиус кривизны \(R\) положителен (\(R > 0\)), в противном случае \(R 0\)), называются положительными или собирающими, если же \(F Рис. 2.

Задача 1

На поверхности воды \(n_в = 1,3\) лежит двояковыпуклая тонкая стеклянная линза \(n_ <ст>= 1,5\) с радиусами кривизны \(R_1 = R_2 = 10\) см. Определите переднее и заднее фокусные расстояния линзы. Чему равно фокусное расстояние этой линзы в воздухе?

Это относительно простая задача. Непосредственное применение формул (1) и (2), где \(n_1 = 1\), \(n_2 = n_в = 1,3\) и \(n = n_ <ст>= 1,5\), дает

\( \approx 14\) см и \( \approx 18,5\) см.

Для фокусного расстояния линзы в воздухе формула (3) приводит к результату \(F = 10\) см.

Задача 2

На рисунке 3 дан ход луча \(ABC\) через тонкую положительную линзу. Построить ход произвольного луча \(DE\) после преломления в линзе.

Проведем \(A’O\), параллельный лучу \(AB\) и проходящий через оптический центр линзы. Он не преломится. Точка \(O\) пересечения этого луча с лучом \(BC\) лежит в фокальной плоскости \(H\). Луч \(D’O\), параллельный \(DE\), пересечет фокальную плоскость в точке \(P\). Через эту же точку пройдет, преломившись, и луч \(DE\).

3адача 3

Какие очки вы пропишите близорукому человеку, который может читать текст, расположенный не далее 20 см?

Очки ни в коей мере не исправляют дефектов человеческого глаза. Их роль сводится к тому, чтобы отобразить объекты окружающего мира на такое расстояние, с которого глаз четко различает предметы. В нашем случае для того чтобы близорукий человек мог видеть удаленные предметы, например, звезду, очки должны создавать изображение звезды не далее 20 см от глаза, а глаз будет рассматривать уже это изображение. Предположим, что линза очков вплотную придвинута к глазу (небольшой зазор между линзой и глазом несущественно исказит приведенные ниже расчеты), и запишем формулу линзы:

Здесь \(d\) —расстояние до звезды, а \(f\) — максимальное расстояние от изображения звезды до глаза. Член \(\frac<1>\) берется со знаком минус, поскольку изображение мнимое. Так как \(d\) очень велико, можно смело положить \(\frac<1> = 0\). По условию задачи \(f = 20\) см. Отсюда

Читайте также:  Лифан смайли не работает ближний свет фар

\(F = – 20\) см, \(D = – 5\) дптр.

Таким образом, близорукому человеку следует прописать очки с рассеивающими линзами оптической силы -5 дптр.

Задача 4

С помощью линзы с фокусным расстоянием \(F\) на экране получают уменьшенное и увеличенное изображения предмета, находящегося на расстоянии \(L\) от экрана. Найти отношение размеров изображений.

Пусть высота предмета равна \(h\). Тогда изображение имеет высоту \(H = \Gamma h\), и отношение размеров изображений есть

Теперь нам нужно найти \(d_1\), \(d_2\), \(f_1\) и \(f_2\). По формуле линзы \(\frac<1> + \frac<1> = \frac<1>\), а из условия задачи \(d + f = L\). Исключив \(d\), получим квадратное уравнение

Кроме того, из свойства обратимости лучей \(d_1 = f_2\) и \(d_2 = f_1\). Таким образом,

Задача 5

С помощью положительной линзы получают изображения двух точечных источников \(A\) и \(B\). Один из них расположен на оптической оси на двойном фокусном расстоянии от линзы, другой смещен от оси так, что прямая, соединяющая источники, образует с оптической осью угол \(\varphi = 30^\circ\) (рис. 4) Под каким углом \(\psi \) к оси следит расположить плоский экран, чтобы одновременно получить на нем четкие изображения обоих источников?

Очевидно, экран нужно расположить по лучу \(AB\) (проведенному от источника \(A\) через точку \(B\)) после его преломления в линзе. Используем формулу для углового увеличения:

Здесь \(f\) — расстояние от изображения источника \(A\) до линзы, a \(F\) — фокусное расстояние линзы. Поскольку \(A\) находится на двойном фокусном расстоянии от линзы, \(f = 2F\). Следовательно,

\(\gamma = \frac<<2F – F>> = 1,\) и \(\psi = \varphi = 30^\circ \).

Задача 6

Сложный объектив состоит из двух тонких линз: положительной с фокусным расстоянием \(F_1 = 20\) см и отрицательной с фокусным расстоянием \(F_2 = -10\) см. Линзы расположены на расстоянии \(l = 15\) см друг от друга. С помощью объектива получают на экране изображение Солнца. Какое фокусное расстояние \(f\) должна иметь тонкая линза, чтобы изображение Солнца, полученное с ее помощью, имело такой же размер?

Здесь мы уже имеем дело с системой линз.

Найдем размер изображения Солнца, создаваемого сложным объективом, рассматривая ход лучей последовательно в обеих линзах. Изображение, создаваемое первой линзой, находится, очевидно, в ее фокальной плоскости. Размер этого изображения \( = tg\alpha \), где \(\alpha\) — угловой диаметр Солнца, видимый с Земли (рис.5). Увеличение, даваемое второй линзой, равно \(\frac<<>><<>> = \frac<<>><<>>\). По формуле линзы имеем

где \(d_2 = F_1 – l\) (изображение Солнца в первой линзе является мнимым источником для второй). Отсюда

Таким образом, размер изображения, создаваемого всем объективом,

Одиночная линза с фокусным расстоянием \(F\) дает изображение, имеющее размер \( = F\;tg\alpha \). Сопоставляя два последних выражения, получим

Только что разобранная задача является частным случаем более общей, практически важной задачи: дана система двух (или более) тонких линз с общей оптической осью; необходимо найти одну тонкую линзу, действие которой эквивалентно действию данной системы. Эта задача будет полностью решена, если мы найдем фокусное расстояние эквивалентной линзы и ее местоположение (или, что то же самое, положение ее фокуса). Попробуйте вывести соответствующие формулы самостоятельно. Для ориентировки приведем окончательные результаты: фокусное расстояние искомой эквивалентной линзы равно

а ее фокус находится от второй линзы на расстоянии \(f_2\), равном

Здесь \(F_1\) и \(F_2\) — фокусные расстояния первой и второй линз соответственно, а \(\Delta\) — расстояние между задним фокусом первой линзы и передним фокусом второй (его называют оптическим интервалом). Принято считать \(\Delta > 0\), если передний фокус второй линзы лежит левее заднего фокуса первой линзы, и \(\Delta Рис. 6.

  1. Какие очки вы пропишите дальнозоркому человеку, который резко видит предметы, расположенные не ближе 50 см?
  2. Положительная линза дает действительное изображение с увеличением в 2 раза. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением 24 см.
  3. Предмет в виде отрезка длиной \(l\) расположен вдоль оптической оси тонкой положительной линзы с фокусным расстоянием \(F\). Середина отрезка находится на расстоянии \(d\) от линзы. Линза дает действительное изображение всех точек предмета. Определить продольное увеличение предмета.
  4. Положительная линза с фокусным расстоянием \(F\) и отрицательная с фокусным расстоянием \(-F\) расположены на расстоянии \(a\) друг от друга так, что их оптические оси совпадают. На расстоянии \(a\) перед положительной линзой находится источник света. Изображение этого источника, даваемое системой линз, располагается на таком же расстоянии \(a\) за отрицательной линзой. Определить это расстояние.
  5. Оптическая система состоит на двух линз: собирающей с фокусным расстоянием \(F_1 = 30\) см и рассеивающей с фокусным расстоянием \(F_2 = – 30\) см. Оптические оси линз совпадают. Параллельный пучок лучей падает на первую линзу и, пройдя через систему, собирается в некоторой точке, лежащей на оптической оси. На сколько сместится эта точка, если линзы поменять местами?
  6. В проекционном аппарате используется сложный объектив, состоящий из двух собирающих линз с фокусными расстояниями \(F_1 = 20\) см и \(F_2 = 15\) см. Линзы расположены на расстоянии \(a=5\) см друг от друга. Определить, с каким увеличением будет проецироваться диапозитив на экран, находящийся на расстоянии \(b=10\) м от объектива проектора. К диапозитиву обращена линза с фокусным расстоянием \(F_2\).

Источник: Журнал “Квант”, №4 1977 г. Автор: Е. Кузнецов.

Источник

Adblock
detector