Дифракция света от кристалла



Дифракция света от кристалла

Теперь рассмотрим отражение волн вещества от кристалла. Кристалл — это твердое тело, состоящее из множества одинаковых атомов, расположенных стройными рядами. Как можно расположить этот строй атомов, чтобы, отражая в данном направлении данный пучок света (рентгеновских лучей), электронов, нейтронов, чего угодно, получить сильный максимум? Чтобы испытать сильное отражение, лучи, рассеянные от всех атомов, должны быть в фазе друг с другом. Не может быть так, чтобы точно половина волн была в фазе, а половина — в противофазе, тогда все волны исчезнут. Нужно, стало быть, найти поверхности постоянной фазы; это, как мы уже объясняли раньше, плоскости, образующие равный угол с начальным и конечным направлениями (фиг. 38.4).

Фигура 38.4. Рассеяние волн плоскостями кристалла.

Если мы рассмотрим две параллельные плоскости, как показано на фиг. 38.4, то волны, рассеянные на них, окажутся в фазе только тогда, когда разность расстояний, пройденных фронтом волны, будет равна целому числу длин воля. Эта разность, как легко видеть, равна , где — расстояние между плоскостями. Итак, условие когерентного отражения имеет вид

(38.9)

Если, скажем, кристалл таков, что атомы в нем укладываются на плоскостях, удовлетворяющих условию (38.9) с , то будет наблюдаться сильное отражение. Если, с другой стороны, существуют другие атомы той же природы (и расположенные с той же плотностью) как раз посередине между слоями, то на этих промежуточных плоскостях произойдет рассеяние равной силы; оно интерферирует с первым и погасит его. Поэтому в выражении (38.9) должно означать расстояние между примыкающими плоскостями; нельзя взять две плоскости, разделенные пятью слоями, и применить к ним эту формулу!

Интересно, что настоящие кристаллы обычно не столь просты, — это не одинаковые атомы, повторяющиеся по определенному закону. Они скорее похожи, если прибегнуть к двумерной аналогии, на обои, на которых повторяется один и тот же сложный узор. Для атомов «узор» — это некоторая их расстановка, куда может входить довольно большое число атомов; скажем, для углекислого кальция — атомов кальция, углерода и трех атомов кислорода. Важно не то, каков рисунок, а то, что он повторяется.

Этот основной рисунок называется ячейкой, а способ повторения определяет тип решетки; тип решетки можно сразу определить, взглянув на отражения и рассмотрев их симметрию. Другими словами, от типа решетки зависит, где не будет отражения (лучей от кристалла), но чтобы узнать, что стоит в каждой ячейке, надо учесть и интенсивность рассеяния по тем или иным направлениям. Направления рассеяния зависят от типа решетки, а сила рассеяния определяется тем, что находится внутри каждой ячейки; этим способом и было изучено строение кристаллов.

Две фотографии дифракции рентгеновских лучей даны на фиг. 38.5 и 38.6.

Фигура 38.5. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах каменной соли.

Фигура 38.6. Дифракция рентгеновских лучей на миоглобине.

Занятная вещь получается с рассеянием, когда промежутки между ближайшими плоскостями меньше . В этом случае уравнение (38.9) вообще не имеет решений ни для одного . Выходит, когда больше двойного промежутка между примыкающими плоскостями, то никаких боковых дифракционных пятнышек нет и свет (и не только свет, а все, что хотите) прямо проходит через вещество. Проходит, не отражаясь, не рассеиваясь, не теряясь. В частности, свет (у него много больше этих промежутков) проходит, не давая никакой картины отражений от кристаллических плоскостей.

Интересные следствия этого явления наблюдаются в урановых реакторах — источниках нейтронов (нейтроны — это, уж бесспорно, частицы, спросите у кого угодно!). Если пустить эти самые частицы-нейтроны через длинный блок графита, то они начнут рассеиваться и с трудом будут протискиваться в глубь блока (фиг. 38.7). Рассеиваются они из-за того, что отскакивают от атомов. Но строго говоря, согласно волновой теории, все обстоит как раз наоборот — они отскакивают от атомов из-за дифракции от кристаллических плоскостей. Оказывается, что если взять длинный стержень графита, то у всех нейтронов, выходящих из его дальнего конца, окажется большая длина волны! Если нанести на график интенсивность нейтронов как функцию длины волны, то на нем изобразятся только длины волн выше некоторого минимума (фиг. 38.8). Значит, таким путем можно получить очень медленные нейтроны. Проникают сквозь графит только самые медленные нейтроны, они не дифрагируют, не рассеиваются на кристаллических плоскостях графита, а спокойно проходят, как свет через стекло. И нет никакого рассеяния по сторонам. Существует и множество других доказательств реальности нейтронных волн и волн других частиц.

Фигура 38.7. Диффузия нейтронов из котла сквозь графитовый блок

Фигура 38.8. Интенсивность нейтронов, выходящих из стержня графита, как функция длины волны.

Источник

Дифракция рентгеновских лучей при прохождении через кристалл

Дифракция волн

Как хорошо известно [1], волну, распространяющуюся со скоростью и вдоль х, можно описать соотношением

Зафиксировав значение х, найдем, что вид функции / показывает, по какому закону изменяется с течением времени величина s, характеризующая возмущение, например напряженность электрического или магнитного поля. Вид функции / может быть произвольным. В случае, когда / является синусоидальной функцией, имеем

где а — амплитуда, Т — период, а аргумент синусоидальной функции (2л/7)(/ — х/и) называется фазой. Значение s, таким образом, зависит от выбора начала отсчета времени t и координаты х. Поэтому, для нескольких волн, имеющих одну и ту же амплитуду и период, значение s в данной точке х и в данный момент времени t может быть различно. Что бы учесть это обстоятельство, удобно записать выражение для синусоидальной волны в более удобном виде

Ф называется начальной фазой.

Вид функции (4.2) показывает, что она периодична по времени с периодом Т. Кроме того, она обладает периодичностью и по переменной х. Если дать х приращение X = иТ, то значение функции не изменится, а, следовательно, расстояние по л:, равное X = иТ, отделяет точки, в которых колебания совершаются в данный момент времени в одной и той же фазе. Величина X = иТ называется длиной волны.

Выражение (4.2) можно переписать

Введем обозначения: 2п/Т = ш — круговая частота, 2п/Х = к — волновое число. Тогда (4.4) примет вид

Для облегчения математического аппарата, вместо тригонометрических функций можно ввести экспоненциальные. В основе этой замены лежит формула Эйлера ехр(г’ср) = coscp + /sirup.

Если (р = со/, то яехр(ко/) описывает гармоническое колебание с амплитудой а и круговой частотой со. Если начальная фаза колебания равна 8, то выражение для колебания будет с?ехр[/(со/ + 5)] = аехр(/8)ехр(/со/). Обозначая аехр(/8) = С, мы вводим комплексную амплитуду С, причем в это выражение входит как обычная амплитуда а, так и начальная фаза колебаний 8.

Пользуясь экспоненциальной функцией, мы можем записать выражение (4.5) в виде

Волну, выраженную одной из формул (4.2) — (4.6), будем называть монохроматической волной.

Скорость распространения монохроматической волны это скорость, с которой передается от точки к точке фаза монохроматического колебания. Действительно, скорость распространения фазы определяется из того соотношения между х и /, при котором фаза остается неизменной, т.е. из требования (2л/7)(/ — х/и) = const. Дифференцируя это соотношение, получим, что скорость распространения фазы dx/dt = и. Поэтому и носит название фазовой скорости монохроматической волны. Из соотношения (4.5) можно найти другое выражение для фазовой скорости dx/dt = со /к.

Опыт показывает, что только для вакуума фазовая скорость распространения волн является одной и той же для волн любой длины. Во всех остальных средах фазовая скорость распространения монохроматической волны зависит от ее длины, т.е. и = ДА,). Такие среды называются диспергирующими.

При сложении двух гармонических колебаний одного периода

происходящих по одному направлению, получится вновь гармоническое колебание того же периода

амплитуда А и фаза ср которого определяются из следующих соотношений

Выражение (4.9) показывает, что квадрат амплитуды результирующего колебания не равняется сумме квадратов амплитуд складывающихся колебаний. Результат сложения зависит от разности фаз (ф, — ф₂) исходных колебаний.

Введем обозначение ф = ф, — ф₂ и вычислим средний квадрат амплитуды результирующего колебания за промежуток времени т, длительный по сравнению со временем нерегулярных изменений фазы ф:

Если разность фаз ф остается неизменной в течение времени наблюдения т, то

следовательно, (А 2 ) = а 2 + а₂ 2 + 2а10₂созф, т.е. I Ф 1 +

При беспорядочном изменении разности фаз, значение — ЦсовфЛ стремится к нулю, и мы имеем (А 2 ) = а 2 + а 2 , т.е. / = /| + /₂.

Итак, при сложении колебаний одного периода нужно различать два случая.

• 1. Разность фаз колебаний сохраняется неизменной за время т, достаточное для наблюдений. Средняя энергия результирующего колебания отличается от суммы средних энергий исходных колебаний. В этом случае колебания называются когерентными, а сложение колебаний, при котором не имеет место суммирование интенсивностей, называется интерференцией колебаний.
• 2. Разность фаз колебаний беспорядочно меняется за время наблюдения. Средняя энергия результирующего колебания равна сумме средних энергий исходных колебаний. Такие колебания называются некогерентными. При их сложении всегда наблюдается суммирование интенсивностей, и интерференция не имеет места.

В соответствии со сказанным выше, будем говорить об интерференции волн в том случае, когда при их совместном действии не происходит суммирование интенсивностей.

Введем теперь определение дифракции электромагнитных волн. Понятие “дифракция” в оптике связывается с нарушением прямолинейного распространения света [1-3]. В конце 19 века А. Зоммерфельд определил дифракцию как “любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное с отражением или преломлением”. В оптике этому соответствует проникновение света в область геометрической тени.

В дальнейшем определение Зоммерфельда было расширено [3]: “Под дифракцией света понимают всякое Уклонение от прямолинейного распространения света, если оно не может быть истолковано как результат отражения, преломления или изгибания световых лучей в средах с непрерывно меняющимся показателем преломления”.

И, окончательно, в теории волн под дифракцией понимают любые отклонения при распространении волн от законов геометрической оптики [4].

Для того, чтобы данное выше определение было применимо, необходимо также сформулировать и законы геометрической оптики [4], верные в случае пренебрежения волновыми эффектами:

• 1. Закон прямолинейного распространения света: в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Линия, вдоль которой переносится энергия, называется световым лучом.
• 2. Закон преломления: падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к преломляющей поверхности в точке падения, а направления этих лучей связаны соотношением «sina = w’sina’, где п и п’ — показатели преломления соответственно первой и второй сред, a — угол падения (угол между лучом, падающим на поверхность, и нормалью к поверхности в точке падения), а’ — угол преломления (угол между преломленным лучом и нормалью к поверхности в точке падения). Закон преломления открыт В. Снеллиусом и Р. Декартом.
• 3. Закон отражения: падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к отражающей поверхности в точке падения, и эта нормаль делит угол между лучами на две равные части. Впервые упоминается в “Катоптрике” Евклида.
• 4. Закон независимого распространения лучей: отдельные лучи не влияют друг на друга и распространяются независимо, т.е., если в какой либо точке сходятся два луча, то освещенности, создаваемые ими, складываются.

Источник